Question

在直角坐標平面內，定點F（-1，0）、F′（1，0），動點M，滿足條件．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交曲線C交于A，B兩點，求以AB為直徑的圓的方程，并判定這個圓與直線x=-2的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題中條件：“”易知M的軌跡是橢圓，結合橢圓的概念即可求得其方程；
（Ⅱ）分兩種情形討論：①當斜率存在時，設l：y=k（x+1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用以AB為直徑的圓的方程得到圓心到直線x=-2的距離d＞R，所以圓于直線相離；當斜率不存在時，易得半徑為的圓與直線x=-2也相離，從而問題解決．
解答：解：（Ⅰ）易知M的軌跡是橢圓，，方程為．（3分）
（Ⅱ）①當斜率存在時，設l：y=k（x+1），由，消去y整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0；（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有①（6分）
以AB為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0；②（7分）
由①得y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=，③；④（8分）
將①③④代入②化簡得，
即．（10分）
對任意的k∈R，圓心到直線x=-2的距離是，，即d＞R，所以圓于直線相離．（12分）
當斜率不存在時，易得半徑為，圓的方程是，與直線x=-2也相離．（14分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．