Question

給定橢圓，稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
（I）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．（II）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，且l₁，l₂分別交其“準圓”于點M，N．
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求l₁，l₂的方程；
②求證：|MN|為定值．

Answer 1

解：（I）因為，所以b=1
所以橢圓的方程為，
準圓的方程為x²+y²=4．
（II）（1）因為準圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點為P（0，2），
設過點P（0，2），且與橢圓有一個公共點的直線為y=kx+2，
所以，消去y，得到（1+3k²）x²+12kx+9=0，
因為橢圓與y=kx+2只有一個公共點，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，
解得k=±1．
所以l₁，l₂方程為y=x+2，y=-x+2．

（2）①當l₁，l₂中有一條無斜率時，不妨設l₁無斜率，
因為l₁與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，
當l₁方程為時，此時l₁與準圓交于點，
此時經過點（或）且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為時，直線l₁，l₂垂直．
②當l₁，l₂都有斜率時，設點P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設經過點P（x₀，y₀）與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
經過化簡得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
因為x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
設l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：因為l₁，l₂經過點P（x₀，y₀），又分別交其準圓于點M，N，且l₁，l₂垂直，
所以線段MN為準圓x²+y²=4的直徑，所以|MN|=4．
分析：（I）由橢圓的方程與準圓的方程關系求得準圓的方程
（II）（1）由準圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點為P（0，2），
設橢圓有一個公共點的直線為y=kx+2，與準圓方程聯立，由橢圓與y=kx+2只有一個公共點，求得k．從而得l₁，l₂方程
（2）分兩種情況①當l₁，l₂中有一條無斜率和②當l₁，l₂都有斜率處理．
點評：本題主要考查直線與曲線的位置關系，通過情境設置，拓展了圓錐曲線的應用范圍，同時滲透了其他知識，考查了學生綜合運用知識的能力．