Question

已知函數f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,θ為參數,且0≤θ≤2π.

(1)當cosθ=0時,判斷函數f(x)是否有極值;

(2)要使函數f(x)的極小值大于零,求參數θ的取值范圍;

(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數θ,函數f(x)在區間(2a-1,a)內都是增函數,求實數a的取值范圍.

Answer 1

解:(1)當cosθ=0時,f(x)=4x³,則f(x)在(-∞,+∞)內是增函數,故無極值.

(2)f′(x)=12x²-6xcosθ,令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=.

由(1),只需分下面兩種情況討論:

①當cosθ＞0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,)		(,+)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?↗	極大值	↙?	極小值	↗?

因此,函數f(x)在x=處取得極小值f(),

且f()=-cos³θ+cosθ.

要使f()＞0,必有-cosθ(cos²θ-)＞0,

可得0＜cosθ＜;

由于0≤θ≤2π,故＜θ＜或＜θ＜.

②當cosθ＜0時,隨x的變化,f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,)		(,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	?↘	極小值	↗?

因此函數f(x)在x=0處取得極小值f(0),且f(0)=cosθ.

若f(0)＞0,則cosθ＞0,矛盾,所以當cosθ＜0時,f(x)的極小值不會大于零.

綜上,要使函數f(x)在(-∞,+∞)內的極小值大于零,參數θ的取值范圍為(,)∪(,).

(3)由(2)知,函數f(x)在區間(-∞,0)與(,+∞)內都是增函數,

由題設,函數f(x)在(2a-1,a)內是增函數,則a需滿足不等式組

由(2),參數θ∈(,)∪(,)時,0＜cosθ＜,要使不等式2a-1關于參數θ恒成立,必有2a-1≥,即≤a.

綜上,解得a≤0或≤a＜1,

所以a的取值范圍是(-∞,0］∪［,1).