Question

【題目】已知直線l：y=4x和點P（6，4），點A為第一象限內的點且在直線l上，直線PA交x軸正半軸于點B，
（1）當OP⊥AB時，求AB所在直線的直線方程；
（2）求△OAB面積的最小值，并求當△OAB面積取最小值時的B的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點P（6，4），∴kOP= ，

∵OP⊥AB，∴kAB= ，

∵AB過點P（6，4），

∴AB的方程為y﹣4= （x﹣6）

化為一般式可得：3x+2y﹣26=0

（2）解：設點A（a 4a），a＞0，點B坐標為（b，0），b＞0，

則直線PA的斜率為 = ，解得b= ，故B的坐標為（ ，0），

故△OAB面積為S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0．

由題意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判別式△=S2﹣40S≥0，S≥40，

故S的最小值等于40，此時方程為a2﹣4a=4=0，解得a=2．

綜上可得，△OAB面積的最小值為40，

當△OAB面積取最小值時點B的坐標為（10，0）．

【解析】（1）由垂直關系可得kAB= ，由AB過點P（6，4）可得點斜式方程，化為一般式可得；（2）設點A（a 4a），a＞0，點B坐標為（b，0），b＞0，可得△OAB面積為S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0，由判別式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此時的方程可得B坐標．
【考點精析】本題主要考查了一般式方程的相關知識點，需要掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）才能正確解答此題．