Question

已知f（x）為一次函數，且滿足4f（1-x）-2f（x-1）=3x+18，求函數f（x）在[-1，1]上的最大值，并比較f（2011）與f（2012）的大小．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：令t=1-x，則-t=x-1，且x=1-t，則有4f（t）-2f（-t）=21-3t，所以4f（x）-2f（-x）=21-3x①，于是用-x代替x代入上式可得4f（-x）-2f（x）=21+3x②，然后求出函數的解析式，根據一次函數的性質得當x=-1時，函數f（x）有最大值f（-1）=11；f（2010）＞f（2011）．

解答： 解：令t=1-x，則-t=x-1，且x=1-t
∵4f（1-x）-2f（x-1）=3x+18，
∴4f（t）-2f（-t）=3（1-t）+18，
即4f（t）-2f（-t）=21-3t，
∴4f（x）-2f（-x）=21-3x①，
用-x代替x代入上式得4f（-x）-2f（x）=21+3x②，
由②+①×2，
6f（x）=63-3x，
即f（x）=-

1

2

x+

21

2

，
∴當x=-1時，函數f（x）有最大值f（-1）=11，
∵f（x）為減函數，
∴f（2011）＞f（2012）．

點評：本題考查了一次函數y=kx+b的性質：k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．