Question

【題目】已知函數，（其中， 為自然對數的底數）

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（1）求出的導數，討論當時， ， 無極值；當時，由，得，求得單調區間，可得在處取到極小值，且極小值為，無極大值；（2）令，則直線與曲線沒有公共點方程在上沒有實數解，分與討論即可得答案.

試題解析：（Ⅰ）

（ⅰ）當時， ， 在上為增函數，所以函數無極值；

（ⅱ）當時， ，得

當時， ；當時，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值.

（Ⅱ）當時，

令

則若直線與曲線沒有公共點，等價于方程在上沒有實數根

當時，

又函數的圖象在定義域上連續，可知方程在上至少有一實數根，與方程在上沒有實數根矛盾，故

當時， ，知方程在上沒有實數根

所以的最大值為1.