Question

已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為(m，n)，
(1)當m+n＞0時，求橢圓離心率的范圍；
(2)直線AB與⊙P能否相切？證明你的結論．

Answer 1

解：(1)設F、B、C的坐標分別為(-c，0)，(0，b)，(1，0)，
則FC、BC的中垂線分別為，
聯立方程組，解得，
m+n=＞0，即b-bc+b²-c＞0，
即(1+b)(b-c)＞0，
∴b＞c，從而b²＞c²，即有a²＞2c²，∴e²＜，
又e＞0，
∴0＜e＜；
(2)直線AB與⊙P不能相切．
由k_AB=b，k_PB=，
如果直線AB與⊙P相切，則b·=-1，
解得c=0或2，與0＜c＜1矛盾，
∴直線AB不能與⊙P相切．