Question

已知函數f(log2x)=x2+2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（II）若方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有兩個不相等的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用“換元法”，設t=log₂x，t∈R，則x=2^t．代入原式即可得出；
（2）方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有兩個不相等的實根?2^2x+（2-a）•2^x+4=0，在（0，2）有兩個不等實根，令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，m∈（1，4）可得

△＞0 h(1)＞0，h(4)＞0 1＜ a-2 2 ＜4

解出即可．

解答：解：（1）設t=log₂x，t∈R，則x=2^t．
∵函數f(log2x)=x2+2x．
∴f（t）=2^2t+2•2^t
∴把t換成x可得：f（x）=2^2x+2•2^x
（2）方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有兩個不相等的實根?2^2x+（2-a）•2^x+4=0，在（0，2）有兩個不等實根，
令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，
∵x∈（0，2），∴m∈（1，4）．
∴函數h（m）在（1，4）上有兩個不等實數根，
必有

△=(2-a)2-16＞0 h(1)=1+(2-a)+4＞0 h(4)=16+4(2-a)+4＞0 1＜ a-2 2 ＜4

，解得6＜a＜7．
∴實數a的取值范圍是（6，7）．

點評：本題考查了指數式與對數式的相互轉化及其性質、二次函數的性質、“換元法”等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．