Question

設S_n是各項均為非零實數的數列{a_n}的前n項和，給出如下兩個命題上：命題p：{a_n}是等差數列；命題q：等式對任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常數．
（1）若p是q的充分條件，求k，b的值；
（2）對于（1）中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；
（3）若p為真命題，對于給定的正整數n（n＞1）和正數M，數列{a_n}滿足條件，試求S_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設{a_n}的公差為d，利用裂項法原等式可化為（-+-+…+-）=，整理可得（k-1）n+b=0對于n∈N^*恒成立，從而可求得k，b的值；
（2）當k=1，b=0時，假設p是q的必要條件，分當n=1時，當n≥2時，當n≥3時討論即可判斷結論是否正確；
（3）由+≤M，可設a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，代入求和公式S_n=，利用三角函數的有界性即可求得其最大值．
解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則原等式可化為（-+-+…+-）=，
所以•=，
即（k-1）n+b=0對于n∈N^*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）當k=1，b=0時，假設p是q的必要條件，即“若++…+=①對于任意的n（n∈N^*）恒成立，則{a_n}為等差數列”．
當n=1時，=顯然成立．…（6分）
當n≥2時，若++…+=②，
由①-②得，=（-），即na_n-（n-1）a_n+1=a₁③．
當n=2時，a₁+a₃=2a₂，即a₁、a₂、a₃成等差數列，
當n≥3時，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=a₁④，即2a_n=a_n-1+a_n+1．所以{a_n}為等差數列，即p是q的必要條件．…（10分）
（3）由+≤M，可設a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，所以r≤．
設{a_n}的公差為d，則a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，
所以d=，
所以a_n=rsinθ-，
S_n==r≤•=，
所以S_n的最大值為…（16分）
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，突出考查“充分、必要條件”在數列中的綜合應用，判斷（2）中“p是否為q的必要條件”是難點，考查參數方程及三角函數的有界性，屬于難題．