Question

已知函數f（x）=

ax+a-3

ax+a

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函數f（x）是R上的奇函數，求實數a的值；
（Ⅱ）當1≤x≤2時，請回答以下問題：
     （i）判斷函數f（x）的單調性（不必證明）；
     （ii）若函數f（x）的最大值為

3

4

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數可得f（0）=0，求出a值再代入檢驗即可；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，分a＞1，0＜a＜1兩種情況進行討論，利用基本函數的單調性可得結論；
（ii）利用（i）的結論可得f（x）的最大值f（x）_max，令f(x)max=

3

4

可求得a值；

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=

ax+a-3

ax+a

是R上的奇函數，則f（0）=0，解得a=2，
把a=2代入，得f（x）=

2x-1

2x+2

，經檢驗滿足f（x）=-f（x），
所以a=2；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，
當a＞1時，a^x+a是增函數，f（x）=1-

3

ax+a

是增函數；
當0＜a＜1時，a^x+a是減函數，f（x）=1-

3

ax+a

是減函數；
（ii）由（i）知，當a＞1時，f（x）_max=f（2）=1-

3

a2+a

=

3

4

，解得a=3；
當0＜a＜1時，f（x）_max=f（1）=1-

3

a+a

=

3

4

，解得a=6，不符合舍去．
綜上所述：a=3．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查函數最值的求解，考查分類討論思想．