Question

某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位的二進制數A=，其中A的各位數中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，當程序運行一次時，ξ的數學期望（　　）Eξ=

• A、

  8

  27

• B、

  16

  81

• C、

  11

  3

• D、

  65

  81

Answer 1

分析：由題意出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

，借助于二進制數A的特點知每一個數位上的數字只能填0，1，并且 每個數位上的數字再填時互不影響，所以每個數位上可以填0，或1，而ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，當程序運行一次時，故以后的5位數中后4位的所有結果有4類且相互之間互斥，利用獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式，再有期望定義即可求得．

解答：解：由于二進制數A的特點知每一個數位上的數字只能填0，1，且 每個數位上的數字再填時互不影響，故以后的5位數中后4位的所有結果有4類：①后4個數為都出現1，記其概率為P₁；②后4個數位只出現1個1，記其概率為P₂；③后4位數位出現2個1，記其概率為P₃；④后4個數為上出現3個，記其概率為P₄，
又由于 出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

，所以  P1=(

2

3

)4=

16

81

，P2= 

C

1 4

2

3

•(

1

3

)3=

8

81

，P3=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2 =

24

81

，P4=

C

3 4

(

2

3

) 3

1

3

=

32

81

，
又ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，由題意可以知ξ=5，2，3，4，該隨機變量ξ的分布列為：

所以Eξ=5×

16

81

+2×

8

81

+3×

24

81

+4×

32

81

=

11

3

．
故選：C

點評：此題考查了獨立事件同時發生及互斥事件一個發生的概率公式，隨機變量的定義及其分布列，還考查了隨機變量的期望．