Question

設數列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=⇒當n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=，兩式作差求出數列{a_n}的通項．
（2）由（1）的結論可知數列{b_n}的通項．再用錯位相減法求和即可．
解答：解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=，①
∴當n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=．②
①-②，得3^n-1a_n=，（n≥2），
在①中，令n=1，
得．∴．
（2）∵，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-．
∴．
點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．