Question

已知函數,.
(1)討論在內和在內的零點情況.
(2)設是在內的一個零點,求在上的最值.
(3)證明對恒有.

Answer 1

(1)在內有唯一零點;在內無零點.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)詳見解析.

試題分析：(1)首先求導確定在、內的單調性，然后根據零點判定定理確定的零點情況； (2)求導得，所以 在有最大值,又是在內的一個零點，所以在的最大值為.再由(1)的結論知在的最小值應為.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知時,有,即
 ，得，再將左右兩邊放縮相加即得.
(1)在有唯一零點,易知在單增而在
內單減,且,故在和內都至多有一個零點.
又,
故在內有唯一零點;
再由知在內無零點.
(2)由(1)知在有最大值,
故在有最大值;
再由(1)的結論知在的最小值應為.
由知,于是在的最小值.
(3)由(2)知時,有,即
                      ①
取,則且,將的值代入①中,可得

             ②
再由,得
                ③
相仿地,時,,故
            ④
而時④即,顯然也成立.故原不等式成立.