Question

若對(duì)任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，則下列不等式恒成立的是（　　）

• A、a²+b²≤1
• B、a²+b²≥1
• C、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≤1
• D、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≥1

Answer 1

分析：先換元，對(duì)任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，可轉(zhuǎn)化成直線

x

a

+

y

b

=1與單位圓有交點(diǎn)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑建立不等關(guān)系即可．

解答：解：設(shè)x=cosθ，y=sinθ則

x

a

+

y

b

=1
對(duì)任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，可看成直線

x

a

+

y

b

=1與單位圓有交點(diǎn)
d=

|ab|

a2+b2

≤ 1，化簡(jiǎn)得

1

a2

+

1

b2

≥1，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式，轉(zhuǎn)化成直線和圓恒有交點(diǎn)，屬于中檔題．