Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點，則異面直線DE與PA所成角的余弦值是（　　）

• A、0
• B、

  2

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  6

Answer 1

分析：以O為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系．表示出空間中各個點的坐標，進而給出相關向量的坐標，然后利用異面直線的夾角的余弦等于其方向向量夾角余弦值的絕對值，求出夾角．

解答：解：以O為坐標原點，射線OB、OC、
OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系．
在Rt△AOB中OA=

3

，于是，點A、B、
D、P的坐標分別是A（0，-

3

，0），
B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

）．
E是PB的中點，則E（

1

2

，0，

3

2

）于是

DE

=（

3

2

，0，

3

2

），

AP

=（0，

3

，

3

）．
設

DE

與

AP

的夾角為θ，有cosθ=

3 2

9 4 + 3 4 × 3+3

=

2

4

，θ=arccos

2

4

，
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos

2

4

．

點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于它們方向向量夾角的余弦的絕對值；空間直線與平面所成角的余弦值等于的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；空間銳二面角的余弦值等于兩半平面的法向量夾角的余弦值的絕對值．