Question

一個電路中有三個電子元件，它們接通的概率都是m(0＜m＜1)如下圖有三種接通方法：

(1)分別求出這三種電路各自接通的概率；

(2)試分析這三種電路哪種性能最優？并證明你的結論.

Answer 1

解：(1)設三種電路各自接通的事件分別記為A₁，A₂，A₃.顯然如圖（1）P(A₁)=m·m·m=m³.

    電路［如圖(2)］接通有三種情況：三個電子元件全通；并聯的兩個電子元件上通下不通，或下通上不通，同時第三個電子元件也通.

∴P(A₂)=m³+2(1-m)m²=2m²-m³.

    電路［如圖(3)］至少有一個電子元件能接通，其對立事件是三個電子元件都不通.

∵P(A₃)=(1-m)³,

∴P(A₃)=1-(1-m)³=m³-3m²+3m.

(2)當m∈(0,1)時,P(A₃)-P(A₁)=3m(1-m)＞0,

P(A₃)-P(A₂)=m(2m-3)(m-1)＞0.

∴P(A₃)＞P(A₁)且P(A₃)＞P(A₂).

    故如圖(3)所示電路接通的概率最大，它的性質最優.