Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點．
（I）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，求出相關向量
（I）要證：DE∥平面ABC，只需證明向量DE與平面ABC的法向量數量積=0即可；
（II）要證：B₁F⊥平面AEF，只需證明

B1F

•

EF

=(-2)×2+(-2)+(-4)×(-2)=0，

B1F•

AF

=(-2)×2+2×2+(-4)=0即可；
（III）求二面角B₁-AE-F的余弦值，只需求出平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
平面AEF的法向量為

B1F =(-2，2，-4)

，利用數量積確定二面角的余弦值．
也可以用幾何法證明：
（I）要證DE∥平面ABC，只需證明DE平行平面ABC內的直線DG（設G是AB的中點，連接DG，）；
（II）求證B₁F⊥平面AEF，只需證明B₁F垂直平面AEF內的兩條相交直線AF、EF即可；
（III）過F做FM⊥AE于點M，連接B₁M，說明∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，然后求二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答：解：方法1：如圖建立空間直角坐標系O-xyz，令AB=AA₁=4，
則A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）

DE

=（-2，4，0），面ABC的法向量為

OA1

=（0，0，4），
∵

DE

•

OA1

=0，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）

B1F

=(-2，2，-4)，

EF

=(2，-2，-2)

B1F

•

EF

=(-2)×2+(-2)+(-4)×(-2)=0

B1F•

AF

=(-2)×2+2×2+(-4)=0（6分）
∴

B1F

⊥

AF

，∴B₁F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）

（III）平面AEF的法向量為

B1F =(-2，2，-4)

，設平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n • AE =0 n • B1A =0

，即

2y+z=0 x+z=0

（10分）
令x=2，則Z=-2，y=1，∴

n

=(2，1，-2)
∴cos(

n

，

B1F

)=

n • B1F

| n |•| B1F |

=

6

9 × 24

=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

（12分）

方法2：（I）方法i：設G是AB的中點，連接DG，
則DG平行且等于EC，（2分）
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線
于點P，連接BP．由E為C₁C的中點，A₁C₁∥CP，
可證A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中點，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁F⊥AF，（6分）
設AB=AA₁=2，則B1F=

6

，EF=

3

，B1E=3
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；（8分）

（III）過F做FM⊥AE于點M，連接B₁M，
∵B₁F⊥平面AEF，由三垂線定理可證B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF為二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可證EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM=

10

5

，（10分）
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，∴cos∠B1MF=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角的求法，直線與平面的垂直的判定，考查邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．