Question

已知等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求證：都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為數列{a_n}為等差數列，所以只要求出首項與公差，就可以求出通項公式，同樣，因為數列{a_n}為等比數列，所以只要求出首項與公比，就可以求出通項公式，然后根據a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．尋找含a1，d，b1，q的關系式，求出a1，d，b1，q即可．
（2）由（1）中所求數列{a_n}的首項與公差，代入等差數列的前n項和公式，求出S_n，再計算，最后用放縮法即可證明．
解答：解：（1）設{a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，
則
解得（舍）   
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，n∈N^*，
b_n=8^n-1，n∈N^*．
（2）因為S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
所以=
=
=．
故都成立．
點評：本題考查了等差等比數列通項公式的求法，以及放縮法比較大小．