Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是棱形，SA⊥平面ABCD，M，N分別為SA，CD的中點．
（1）證明：直線MN∥平面SBC；
（2）證明：平面SBD⊥平面SAC；
（3）當SA=AD，且∠ABC=60°時，求直線MN與平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取SB中點E，連接ME、CE，要證明直線MN∥平面SBC，只需證明直線MN平行平面SBC內的直線EC即可；
（2）連接AC、BD，相交于點O，證明平面SBD⊥平面SAC；只需證明平面SBD內的直線BD，垂直平面平面SAC內的兩條相交直線SA、AC即可．
（3）SA=AD，∠ABC=60°，連接AN，說明∠ANM是直線MN與平面ABCD所成的角，解三角形AMN即可求直線MN與平面ABCD所成角的大小．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，取SB中點E，連接ME、CE，
因為M為SA的中點，
所以ME∥AB，且ME=

1

2

AB，
因為N為菱形ABCD邊CD的中點，
所以CN∥AB且CN=

1

2

AB，
所以ME∥CN，且ME=CN，
所以四邊形MECN是平行四邊形，
所以MN∥EC，
又因為EC?平面SBC，ME?平面SBC，
所以直線MN∥平面SBC．（5分）
（Ⅱ）證明：如圖，連接AC、BD，相交于點O，
因為SA⊥底面ABCD，
所以SA⊥BD．
因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又SA∩AC=A，
所以BD⊥平面SAC．
又BD?平面SBD，
所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）
（Ⅲ）解：如圖，連接AN，因為MA⊥平面ABCD，
所以AN是MN在平面ABCD上的射影，
所以∠ANM是直線MN與平面ABCD所成的角．
設SA=AD=DC=2，
由∠ABC=60°，
可知AN=

3

，AM=1，
所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，
即直線MN與平面ABCD所成的角為30°．（14分）

點評：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查邏輯思維能力，是中檔題．