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如圖所示,在平行四邊形ABCD中,
AB
BD
=0,且4|
AB
|2+2|
BD
|2=1
,沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是(  )
分析:根據數量積為零,得∠ABD=∠CDB=90°,故AC的中點O為外接球的球心,AC就是球的直徑.由面面垂直的性質和勾股定理,算出AC2的值,結合球的表面積公式,可得外接球的表面積.
解答:解:根據題意,可知折疊后的三棱錐如右圖所示.
AB
BD
=0
,∴∠ABD=∠CDB=90°,
由此可得AC的中點O即為外接球的球心
又∵二面角A-BD-C是直二面角,即平面ABD⊥平面BCD,且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD,可得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形
|
BC
|2=|
AD
|2=|
AB
|2+|
BD
|2

∴Rt△ABC中,|
AC
|2=|
AB
|2+|
BC
|2=2|
AB
|2+|
BD
|2
=
1
2

從而三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4π•(
1
2
AC2
)=π•AC2=
π
2

故答案為:D
點評:本題將平行四邊折疊,求折成三棱錐的外接球表面積,著重考查了面面垂直的性質、球表面積公式和球內接多面體的性質等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:2014屆福建省四地六校高二下學期第一次聯考理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題

六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體。如圖①,在平行四邊ABCD中,,那么在圖②中所示的平行六面體中,等于(   )

A.

B.

C.

D.

 

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