Question

（文科做）已知等差數列{a_n}{和正項等比數列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃=b₃=2．
（1）求a_n，b_n；
（2）設cn=an•bn2，求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）設{a_n}的前n項和為T_n，是否存在常數P、c，使a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立？若存在，求P、c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₃=a₁+2d，得d=

1

2

，由b₃=b₁q²且q＞0得q=

2

，從而可求a_n，b_n；
（2）因為c_n=（n+1）2^n-2，再利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）Tn=

b1(1-qn)

1-q

=(

2

+1)(2

n

2

-1)，令n=1，n=3，求得c=

2

+1，p=log2(2-

2

)，再驗證下即可．

解答：解：（1）由a₃=a₁+2d，得d=

1

2

-------（1分）
由b₃=b₁q²且q＞0得q=

2

----（2分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

2

，b_n=b₁q^n-1=2

n-1

2

-------（4分）
（2）因為c_n=（n+1）2^n-2--------------------------（5分）
故Sn=2•2-1+3•20+4•21+…+(n+1)•2n-2-----------------①
2Sn=2•20+3•21+4•22+…+n•2n-2+(n+1)•2n-1---------------------------②
所以①-②得：-Sn=1+1+2+22+…+2n-1-(n+1)•2n-1--------------------------（7分）
所以Sn=n•2n-1--------------------------（9分）
（3）Tn=

b1(1-qn)

1-q

=(

2

+1)(2

n

2

-1)-------（10分），
a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立，
則當n=1，n=3時，有

1=plog2(1+c) 2=p+log2(1+ 2 +2+c)

-----（12分），
解得c=

2

+1，p=log2(2-

2

)-------（13分）
p+log₂（T_n+c）=log₂（2-

2

）+log2[(

2

+1)(2

n

2

-1)+(

2

+1)]=log2(

2

×2

n

2

)=

n+1

2

------（15分）
所以，當c=

2

+1，p=log2(2-

2

)時，a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立-------（16分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列通項的求解，考查錯位相減法求和，解題的關鍵是確定數列的通項．