Question

在區間[1，4]上任取實數a，在區間[0，3]上任取實數b，使函數f（x）=ax²+x+b有兩個相異零點的概率是     ．

Answer 1

【答案】分析：設所求的事件為A，由方程ax²+x+b=0有兩個相異根，即△=1-4ab＞0求出ab范圍，判斷出是一個幾何概型后，在坐標系中畫出所有的實驗結果和事件A構成的區域，再用定積分求出事件A構成的區域的面積，代入幾何概型的概率公式求解．
解答：解：設事件A={使函數f（x）=ax²+x+b有兩個相異零點}，
方程ax²+x+b=0有兩個相異根，即△=1-4ab＞0，解得ab＜，
∵在[1，4]上任取實數a，在[0，3]上任取實數b，
∴這是一個幾何概型，所有的實驗結果Ω={（a，b）|1≤a≤4且 0≤b≤3}；
事件A={（a，b）|ab＜，1≤a≤4且 0≤b≤3}，在坐標系中畫出圖形：
則圖中陰影部分是事件A構成的區域，則它的面積S==lna|₁⁴=ln2，
∴事件A的概率P（A）==．
故答案為：．
點評：本題考查了幾何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的個數求出ab的范圍，用定積分求不規則圖形的面積，考查了學生綜合運用知識的能力．