Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，λc=2acosB（λ∈R）．
（I）當λ=1時，求證：A=B；
（II）若B=60°，2b²=3ac，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把λ=1代入λc=2acosB中，表示出cosB，然后利用余弦定理表示出cosB，兩者相等化簡后，得到a等于b，根據等邊對等角得到A等于B，得證；
（II）由條件2b²=3ac表示出b²，然后利用余弦定理表示出cosB，把B的度數和表示出的b²代入即可得到關于a與c的關系式，即可用c來表示出a，又λc=2acosB，把cosB和表示出的a代入即可求出λ的值．
解答：解：（I）當λ=1時，得到c=2acosB，即cosB=，
而cosB=，所以得到=，
化簡得：a²+c²-b²=c²，即a=b，
∴A=B；
（II）根據余弦定理得：cos60°==，又2b²=3ac，得到b²=，
則a²+c²-=ac，化簡得：（2a-c）（a-2c）=0，
解得a=或a=2c，
當a=時，由λc=2acosB，得到λ===；
當a=2c時，由λc=2acosB，得到λ===2，
綜上，λ的值為或2．
點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握三角函數中的恒等變換的應用，是一道中檔題．