Question

某商場對A品牌的商品進行了市場調查，預計2012年從1月起前x個月顧客對A品牌的商品的需求總量P（x）件與月份x的近似關系是：P（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）寫出第x月的需求量f（x）的表達式；
（2）若第x月的銷售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x≤7且x∈N+ x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12，且x∈N+

 （單位：件），每件利潤q（x）元與月份x的近似關系為：q（x）=

10ex

x

，問：該商場銷售A品牌商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

分析：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39，當x≥2時，f（x）=P（x）-P（x-1），從而可求出第x月的需求量f（x）的表達式；
（2）根據月利潤達=銷售量×每件利潤建立函數關系，然后利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最值．

解答：解：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39；
當x≥2時，f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（41-2x）-

1

2

（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）；
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈N⁺）；
（2）設月利潤為h（x），則h（x）=q（x）g（x）=

30ex(7-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10 3 x3-100x2+960x，7≤x≤12，且x∈N+

∴h′（x）=

30ex(6-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12，且x∈N+

∴當1≤x≤6時，h′（x）≥0，當6＜x＜7時，h′（x）＜0，
∴h（x）在x∈[1，6]上單調遞增，在（6，7）上單調遞減
∴當1≤x＜7且x∈N⁺時，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090；
∵當7≤x≤8時，h′（x）≥0，當8≤x≤12時，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上單調遞增，在（8，12）上單調遞減
∴當7≤x≤12且x∈N⁺時，h（x）max=h（8）≈2987＜12090
綜上，預計該商場第6個月的月利潤達到最大，最大利潤約為12090元．

點評：本題主要考查了函數最值的應用，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．