Question

下列給出的四組不等式中，同解的是（　　）

• A、

  x-2

  (x2-4x+3)＜0與x²-4x+3＜0
• B、

  (x-1)2(x-2)

  x-1

  ≥0與（x-1）（x-2）≥0
• C、

  2x-3

  x-5

  ＞0與（2x-3）（x-5）＞0
• D、

  x2-2x-6

  2x-1

  ＜1與x²-2x-6＜2x-1

Answer 1

分析：根據題意，分析選項，A、左邊的不等式中的根號下的x-2大于0，而右邊的不等式沒有這個限制條件，所以兩不等式不是同解不等式；
B、左邊的不等式有x-1不為0的限制，而右邊沒有，所以兩不等式不是同解不等式；
C、左邊的不等式可化為（2x-3）（x-5）大于0，與右邊的不等式完全相同，所以為同解不等式；
D、當2x-1小于0時，左邊的不等式可化為x²-2x-6＞2x-1，與右邊的不等式不相同，所以不是同解不等式．

解答：解：A、由

x-2

(x2-4x+3)＜0，可化為：

x-2＞0① (x-1)(x-3)＜0②

，由①得：x＞2；由②得：1＜x＜3，
所以不等式的解集為：2＜x＜3；
而x²-4x+3＜0可化為：（x-1）（x-3）＜0，解得：1＜x＜3，
所以兩不等式不是同解不等式，此選項錯誤；
B、

(x-1)2(x-2)

x-1

≥0化為：

(x-1)(x-2)≥0① x-1≠0②

，由①得：x≥2或x≤1；由②得：x≠1，
所以不等式的解集為：x≥2或x＜1；
而（x-1）（x-2）≥0，解得：x≥2或x≤1，所以兩不等式不是同解不等式，此選項錯誤；
C、

2x-3

x-5

＞0可化為：（2x-3）（x-5）＞0，解得x＞5或x＜

3

2

，所以兩不等式為同解不等式，此選項正確；
D、

x2-2x-6

2x-1

＜1，移項合并得：

(x-5)(x+1)

2x-1

＜0，
可化為：

x-5＞0 x+1＞0 2x-1＜0

或

x-5＞0 x+1＜0 2x-1＞0

或

x-5＜0 x+1＞0 2x-1＞0

，
解得：

1

2

＜x＜5；
而x²-2x-6＜2x-1，可化為：（x-5）（x+1）＜0，解得：-1＜x＜5，
所以兩不等式不是同解不等式，此選項錯誤，
所以正確的選項是C．
故選C

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了轉化的數學思想，是一道綜合題．