Question

某鄉有A、B、C、D四個村莊,恰好座落在邊長為2 km的正方形頂點上,為發展經濟,當地政府決定建立一個使得任何兩個村莊都有通道的路網,道路網由一條中心道及四條支線組成,要求四條支道的長度相等.(如圖所示)

(1)若道路的總長度不超過5.5 km,試求中心道長的取值范圍.

(2)問中心道長為何值時,道路網的總長度最短?

Answer 1

剖析:以中心道長度為變量,建立道路網的總長度的解析式,然后按求函數的方法求解.

解:設中心道長度為2x km(0＜x＜1).

    (1)由題意得2x+4≤5.5,

    化簡,得48x²-40x+7≤0.

    解得≤x≤.

    所以中心道長的取值范圍是［,］.

    (2)因為y=2x+4,

    所以(y-2x)²=16(2-2x+x²).

    所以12x²+(4y-32)x+32-y²=0.                ①

    因為0＜x＜1,所以Δ=(4y-32)²-4×12(32-y²)≥0.

    由于y＞0,所以y≥2+2.

    將y_min=2+2代入①得

    12x²+(8+8-32)x+32-(2+2)²=0x=1-.

    答:當道路網長度不超過5.5 km時,中心道長的取值范圍為［,］;中心道長為(2-) km時,道路網總長度最短.

講評:在實際問題中建立函數關系時,首先要選取自變量,自變量選取恰當與否對于解決問題簡便與否有直接的關系.