Question

已知函數f（x）=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x．
（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；
（2）當x∈[0，π]時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）若對任意的x∈[

π

4

，

π

2

]，不等式f（x）＞m-3恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+2，再由f（α）=3，且α∈（0，π），求得α的值．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2α+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的單調增區間．再根據x∈[0，π]，可得函數f（x）的具體的單調遞增區間．
（3）由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而求得函數的值域．要使f（x）＞m-3恒成立，只要函數f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，由此求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由于函數f（x）=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
∵f（α）=3，且α∈（0，π），∴2sin（2α+

π

6

）+2=3，解得 sin（2α+

π

6

）=

1

2

．
故有 2α+

π

6

=2kπ+

π

6

，或 2α+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈z．
∴α=

π

3

．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2α+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

，
故函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

]，k∈z．
再由 x∈[0，π]，可得函數f（x）的單調遞增區間為[0

π

6

]、[

2π

3

 π]．
（3）對任意的x∈[

π

4

，

π

2

]，

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤

3

2

，1≤f（x）≤2+

3

．
要使f（x）＞m-3恒成立，只要函數f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，m＜4，
故實數m的取值范圍為（-∞，4）．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的單調區間，正弦函數的定義域和值域，函數的恒成立問題，
屬于中檔題．