Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D為AB中點(diǎn)，求證：BC₁∥平面A₁CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁，只需證明平面A₁BC內(nèi)的直線BC，垂直平面ACC₁A₁內(nèi)的兩條相交直線A₁A、A₁C即可；
（2）D為AB中點(diǎn)，連接AC₁交A₁C于O，連接OD，要證BC₁∥平面A₁CD，只需證明BC₁，平行平面A₁CD內(nèi)的直線OD即可．
解答：證明：（1）因?yàn)椤螦₁AC=60°，A₁A=AC=1，
所以△A₁AC為等邊三角形，所以A₁C=1，
因?yàn)锽C=1，A₁B=，所以A₁C²+BC²=A₁B²
所以∠A₁CB=90°，即 A₁C⊥BC
因?yàn)锽C⊥A₁A，BC⊥A₁C，A₁A?平面ACC₁A₁，
A₁C?平面ACC₁A₁，A₁A∩A₁C=A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
因?yàn)锽C?平面A₁BC
所以平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁
（2）連接AC₁交A₁C于O，連接OD
因?yàn)锳CC₁A₁為平行四邊形，所以O(shè)為AC₁的中點(diǎn)
因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BC₁
因?yàn)镺D?平面A₁CD，BC₁在平面A₁CD外
所以BC₁∥平面A₁CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．