Question

如圖，正方形ACDE邊長為1且所在的平面與平面ABC垂直，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求點A到面EBC的距離；
（2）求直線AB與平面EBC所成角的大小；
（3）求二面角A-E-BC的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AC⊥BC，根據面面垂直的性質可得BC⊥平面ACDE，過點A作BC的垂線，垂足為O，則AO即為點A到面EBC的距離，在正方形ABCD中，求得AO即可得出點A到面EBC的距離；
（2）連接BM，結合AM⊥平面EBC，說明∠ABM是直線AB與平面EBC所成的角，解三角形求異面直線AE和PB所成角的余弦值；
（3）過A作AH⊥EB于H，連接BM，先證得，∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，再利用直角三角形中的邊角關系求出其正弦值即得．
解答：解：（1）∵正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACDE，
過點A作BC的垂線，垂足為O，則AO即為點A到面EBC的距離，
在正方形ABCD中，求得AO=
即點A到面EBC的距離為：
（2）連接BM，∵AM⊥平面EBC，
∴∠ABM是直線AB與平面EBC所成的角．
設EA=AC=BC=2a，則AM=，，∴，
∴∠ABM=30°，即直線AB與平面EBC所成的角為30°．
（3）過A作AH⊥EB于H，連接BM．∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．
∴EB⊥平面AHM，∴EB⊥HM，∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角．
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB．
在Rt△EAB中，AH⊥EB，∴AE•AB=EB•AH．
由（2）所設EA=AC=BC=2a可得，，
∴．
∴．結合圖形得∠AHM=60°．即二面角A-EB-C的大小等于60°．
點評：本題考查異面直線及其所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題，常考題型．