Question

6．設圓C與兩圓（x+$\sqrt{5}$）²+y²=4，（x-$\sqrt{5}$）²+y²=4中的一個內切，另一個外切，求圓心C的軌跡L的方程．

Answer 1

分析 根據兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據兩圓內切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F₁的距離加2與圓心C到圓心F₂的距離減2或圓心C到圓心F₁的距離減2與圓心C到圓心F₂的距離加2，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數4，且小于兩圓心的距離2$\sqrt{5}$，可知圓心C的軌跡為以原點為中心，焦點在x軸上的雙曲線，根據a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可．

解答 解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
由題意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸為4，焦距為2$\sqrt{5}$的雙曲線，
因此a=2，c=$\sqrt{5}$，則b²=c²-a²=1，
所以軌跡L的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

點評 此題考查學生會根據已知條件得到動點的軌跡方程，掌握雙曲線的簡單性質，靈活運用兩點間的距離公式及三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解決實際問題，是一道中檔題．