Question

已知函數f(x)=cos2x，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）若點A（α，y）（α∈[0，

π

4

]）為函數f（x）與g（x）的圖象的公共點，試求實數α的值；
（2）設x=x₀是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，求g（2x₀）的值；
（3）求函數h(x)=f(x)+g(x)，x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

分析：（1）點A（α，y）為函數f（x）與g（x）的圖象的公共點，得到兩個函數之間的關系，得到角的表示形式，根據角的范圍作出結果．
（2）對f（x）利用二倍角進行整理，寫出對稱軸的表示形式，代入g（x）得到結果．
（3）把兩個函數的和的形式利用二倍角公式整理出可以求解函數的值域的形式，根據函數的定義域和正弦函數的圖象求出值域

解答：解：（1）∵點A（α，y）（0≤α≤

π

4

）為函數f（x）與g（x）的圖象的公共點
∴cos2α=1+

1

2

sin2α，⇒

1

2

+

1

2

cos2α=1+

1

2

sin2α⇒cos2α-sin2α=1（2分）
⇒cos²2α+sin²2α-2sin2αcos2α=1⇒sin4α=0
∴4α=kπ，k∈Z⇒α=

kπ

4

，k∈Z∵α∈[0，

π

4

]
∴α=0（4分）
（2）∵f(x)=cos2x=

1

2

+

1

2

cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x0=1+

1

2

sin2kπ=1（7分）
（3）∵h（x）=f（x）+g（x）
∴h(x)=cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

3

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

3

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（10分）
∵x∈[0，

π

4

]∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

∴

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1∴2≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

≤

3+ 2

2

．
即函數h（x）的值域為[2，

3+ 2

2

]．（12分）

點評：本題考查三角函數的恒等變形和對稱性，值域，本題解題的關鍵是整理出函數的可以求解函數的性質的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．