Question

已知α、β∈（0，），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1-tan²．求α+β的值．

Answer 1

【答案】分析：從4tan=1-tan²．中解出tanα，利用配角法化簡3sinβ=sin（2α+β），即將其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α
代換，從而求出tan（α+β），利用三角函數值求解得α+β的值．
解答：解：∵4tan=1-tan²，
∴2•tanα=1，tanα=．
∵3sinβ=sin（2α+β），
∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．
∴tan（α+β）=2tanα=1．
∴α+β=．
點評：角的變換是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角變換中的角的變換，在本題中顯得尤為突出，將單角化為復角，對字母角度的巧妙拼湊，使得問題順利解決．