Question

設點P在曲線y=e^x上，Q在曲線y=lnx上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  2

• D．2(

  2

  -1)

Answer 1

分析：考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離．

解答：解：∵曲線y=e^x與曲線y=lnx互為反函數，其圖象關于y=x對稱，
故可先求點P到直線y=x的最近距離d
設曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點坐標為（0，1），即b=1
∴d=

1

1+1

=

2

2

∴丨PQ丨的最小值為2d=2×

2

2

=

2

故選C．

點評：本題主要考查了互為反函數的函數圖象的對稱性，以及導數的幾何意義，曲線的切線方程的求法，同時考查了化歸的思想方法，屬于中檔題．