Question

【題目】已知函數f(x)=ln x+ax2-2x,（a∈R,a≠0）

(1)若函數f(x)的圖象在x=1處的切線與x軸平行,求f(x)的單調區間;

(2)若f(x)≤ax在x∈[,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為(0,+∞),無單調遞減區間.（2）-4-4ln 2≤a<0.

【解析】

(1) f '(x)=+2ax-2由f '(1)=1+2a-2=0,解得a=,得f '(x)=≥0恒成立，則單調區間可求；(2) f(x)≤ax轉化為ln x+ax2-2x-ax≤0,構造函數g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x∈[,+∞),求導求其最大值即可求解

(1)函數f(x)=ln x+ax2-2x,定義域為(0,+∞),f '(x)=+2ax-2.

由已知f '(1)=1+2a-2=0,解得a=,

于是f '(x)=≥0恒成立,

從而f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無單調遞減區間.

(2) f(x)≤ax轉化為ln x+ax2-2x-ax≤0,

設g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x∈[,+∞),

則g'(x)=+2ax-2-a=.

①當a<0時,g(x)在[,+∞)上單調遞減,

因而g()=ln+a-1-a≤0,故-4-4ln 2≤a<0;

②當0<a<2時,,g(x)在[,]上單調遞減,在(,+∞)上單調遞增,

因而g(x)∈[g(),+∞),不符合題意;

③當a≥2時,,g(x)在[,+∞)上單調遞增,

因而g(x)∈[g(),+∞),不符合題意.

綜上,-4-4ln 2≤a<0.