Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，側棱長為2，E、F、G分別CC₁、DD₁、AA₁中點．
①求證：A₁F⊥面BEF；②求證：GC₁∥面BEF；③求直線A₁B與面BEF所成的角．

Answer 1

分析：①先根據條件得到EF⊥A₁F；再結合邊長之間的關系得到A₁F⊥AF即可證：A₁F⊥面BEF；
②先證四邊形GAEC₁為平行四邊形即可得到GC₁∥面BEF；
③結合第一問的結論求∠A₁BF即可得到答案．

解答：解：①∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁；
∴CD⊥平面ADD₁A₁；
又E、F、G分別CC₁、DD₁、AA₁中點．
∴EF

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB⇒E，F，A，B四點共面，且EF⊥平面ADD₁A₁，
所以EF⊥A₁F    （1）；
而GF=

1

2

AA₁，所以三角形AA₁F為直角三角形且A₁F⊥AF    （2）
且AF∩EF=F⇒A₁F⊥面AEF；
又由上得E，F，A，B四點共面
∴A₁F⊥面BEF；
②∵GA=

1

2

AA₁，C₁E=

1

2

CC₁；
∴GA

∥ .

.

C₁E，所以四邊形GAEC₁為平行四邊形，⇒GC₁∥AE
又因為GC₁不在平面BEF內，又由上得E，F，A，B四點共面
而AE在平面BEF內；
∴GC₁∥面BEF；
③∵A₁F⊥面BEF
∴∠A₁BF即為直線A₁B與面BEF所成的角，
在直角三角形A₁BF中
A₁B=

AB2+AA 12

=

5

，A₁F=

AG2+GF2

=

2

，
∴sin∠A₁BF=

A1F

A1B

=

2

5

=

10

5

⇒∠A₁BF=arcsin

10

5

．
即直線A₁B與面BEF所成的角為arcsin

10

5

．

點評：本題主要考察線面垂直，線面平行的證明以及直線與平面所成的角．解決線面平行的常用方法是轉化為線線平行．