Question

已知函數f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）當a=3時，求函數f（x）在上的最大值和最小值；
（2）當函數f（x）在單調時，求a的取值范圍；
（3）求函數f（x）既有極大值又有極小值的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=3代入到f（x）中，求出導函數=0時x的值為1得到函數的最大值為f（1），然后判斷f（）和f（2）誰小誰為最小值即可；
（2）求出f′（x）=a-（2x+），然后令g（x）=2x+，利用g′（x）討論得到x∈時，g（x）的最大和最小值得到g（x）的值域，要使f（x）在單調，即要a大于最大值或a小于最小值即可得到a的范圍；
（3））若f（x）既有極大值又有極小值，首先必須f'（x）=0有兩個不同正根，即2x²-ax+1=0有兩個不同正根，即可得到根的判別式大于0且兩根之和大于0，求出a的范圍得到必要性；然后證明充分性：由a的范圍得到f'（x）=0有兩個不等的正根，討論導函數的正負即可得到函數既有極大值又有極小值．所以得到函數既有極大值又有極小值的充分必要條件．
解答：解：（1）a=3時，，
函數f（x）在區間僅有極大值點x=1，故這個極大值點也是最大值點，
故函數在最大值是f（1）=2，
又，故，
故函數在上的最小值為f（2）=2-ln2．
（2），令，則，
則函數在遞減，在遞增，由，，，
故函數g（x）在的值域為．
若f'（x）≤0在恒成立，即在恒成立，只要，
若要f'（x）≥0在在恒成立，即在恒成立，
只要．即a的取值范圍是．
（3）若f（x）既有極大值又有極小值，則首先必須f'（x）=0有兩個不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有兩個不同正根．
故a應滿足，
∴當時，f'（x）=0有兩個不等的正根，不妨設x₁＜x₂，
由f'（x）==（x-x₁）（x-x₂）知：
0＜x＜x₁時f'（x）＜0；x₁＜x＜x₂時f'（x）＞0；x＞x₂時f'（x）＜0，
∴當時f（x）既有極大值f（x₂）又有極小值f（x₁）．
反之，當時，2x²-ax+1=0有兩個不相等的正根，
故函數f（x）既有極大值又有極小值的充要條件．
點評：考查學生會利用導數求閉區間上函數的最值，會利用導數研究函數的單調性，掌握充分必要條件的證明方法．會求函數在某點取極值的條件．此題是一道中檔題．