Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F，G分別為線段AC₁，A₁C₁，BB₁的中點，求證：
（1）平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）EF∥面BCC₁B₁；
（3）GF⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC⊥AB和BC⊥BC₁即可推得平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）先利用條件推得EF∥AA₁，再利用BB₁∥AA₁即可得到EF∥BB₁⇒EF∥面BCC₁B₁；
（3）先證明FG⊥AC₁，再利用條件BC⊥面ABC₁推出FG⊥B₁C₁，即可得到GF⊥平面AB₁C₁．
解答：證明：（1）
∵BC⊥AB
BC⊥BC₁
AB∩BC₁=B
∴平面ABC⊥平面ABC₁（4分）

（2）∵AE=EC₁，A₁F=FG，∴EF∥AA₁∵BB₁∥AA₁
∴EF∥BB₁∵EF?BCC₁B₁∴EF∥面BCC₁B₁；

（3）連接EB，則四邊形EFGB為平行四邊形
∵EB⊥AC₁
∴FG⊥AC₁
∵BC⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥面ABC₁
∴B₁C₁⊥BE
∴FG⊥B₁C₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
所以：GF⊥平面AB₁C₁
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質和線面平行的推導以及線面垂直的判定．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．