Question

已知函數f(x)=x|x-a|+2x-3

(1)當a=4，2≤x≤5時，求函數f(x)的最大值和最小值；

(2)當xÎ[1,2]時，f(x)≤2x-2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

 (1)當a=4時，f(x)=x|x-4|+2x-3；

①當2≤x＜4時，f(x)=x(4-x)+2x-3=-x²+6x-3，

當x=2時，f(x)_min=5；當x=3時，f(x)_max=6               2分

②當4≤x≤5時，f(x)=x(x-4)+2x-3=x²-2x-3＝(x-1)²-4，

當x=4時，f(x)_min=5；當x=5時，f(x)_max=12               4分

綜上可知，函數f(x)的最大值為12，最小值為5．            6分

(2)若x≥a,原不等式化為f(x)= x²-ax≤1，即a≥x-在xÎ[1,2]上恒成立，

∴a≥(x-)_max，即a≥．                          8分

若x＜a,原不等式化為f(x)=-x²+ax≤1，即a≤x+在xÎ[1,2]上恒成立，

∴a≤(x-)_min，即a≤2．                          10分

綜上可知，a的取值范圍為≤a≤2．              12分