Question

已知點P（a，-1）（a∈R），過點P作拋物線C：y=x²的切線，切點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁與x₂的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以點P為圓心的圓E與直線AB相切，求圓E面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）涉及切點的問題常常利用導數與斜率的關系建立等式求解有關問題
（2）以點P為圓心的圓E與直線AB相切，一般直線與圓相切利用d=r建立關系．

解答：解：（Ⅰ）由y=x²可得，y′=2x．（1分）
∵直線PA與曲線C相切，且過點P（a，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-a

，即x₁²-2ax₁-1=0，（3分）
∴x1=

2a- 4a2+4

2

=a-

a2+1

，或x1=a+

a2+1

，（4分）
同理可得：x2=a-

a2+1

，或x2=a+

a2+1

（5分）
∵x₁＜x₂，∴x1=a-

a2+1

，x2=a+

a2+1

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-1，（7分）
則直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，（8分）
∴直線AB的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2ax-y+1=0．
∵點P到直線AB的距離即為圓E的半徑，即r=

2a2+2

4a2+1

，（10分）
∴r2=

4(a2+1)2

4a2+1

=

(a2+1)2

a2+ 1 4

=

(a2+ 1 4 + 3 4 )2

a2+ 1 4

=

(a2+ 1 4 )2+ 3 2 (a2+ 1 4 )+ 9 16

a2+ 1 4

=(a2+

1

4

)+

9

16(a2+ 1 4 )

+

3

2

≥2

9 16

+

3

2

=3，
當且僅當a2+

1

4

=

9

16(a2+ 1 4 )

，
即a2+

1

4

=

3

4

，a=±

2

2

時取等號．
故圓E面積的最小值S=πr²=3π．（14分）

點評：本題考查了函數的導數與斜率之間的關系，直線與圓的位置關系，不等的應用