Question

平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=，且，以BD為折線，把折起，使平面，連AC。（1）求異面直線AD與BC所成角大小；（2）求二面角B-AC-D平面角的大小；（3）求四面體ABCD外接球的體積。

 

Answer 1

【答案】

（1）異面直線AD與BC所成角為（2）二面角B-AC-D的大小是；

（3） 。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中異面直線所成的角和二面角的大小以及球的體積的求解的綜合運用。

（1）在中，，易得，

在四面體ABCD中，以D為原點，DB為軸，DC為軸，過D垂直于平面BDC的射線為軸，建立如圖空間直角坐標系，那么利用向量的夾角得到異面直線的角。

（2）利用法向量與法向量的夾角得到二面角的平面角。

（3）由于均為直角三角形，故四面體ABCD的外接球球心在AD中點，

又，所以球半徑，從而得到結論。

解：在中，，易得，

在四面體ABCD中，以D為原點，DB為軸，DC為軸，過D垂直于平面BDC的射線為軸，建立如圖空間直角坐標系。

z

則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

（1）由于，設AD與BC所成角為，則

，即異面直線AD與BC所成角為

（2）設平面ABC的法向量為，而，

由得：，取 。

再設平面DAC的法向量為，而，

由得：，取，

所以，所以二面角B-AC-D的大小是

（3）……由于均為直角三角形，故四面體ABCD的外接球球心在AD中點，

又，所以球半徑，得 。