Question

設函數f（x）=x²-4|x|-5．
（Ⅰ）畫出y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）設A={x|f（x）≥7}，求集合A；
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有兩解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=x²-4|x|-5=

x2-4x-5  ，x≥0 x2+4x-5 ，x＜0

，畫出y=f（x）的圖象，如圖．
（Ⅱ）由f（x）≥7可得 即 ①

x≥0 x2-4x-5≥7

，或②

x＜0 x2+4x-5≥7

．分別求得①、②的解集額，再取并集，即得所求．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有兩解，即函數f（x）的圖象和直線y=k+1有兩個不同的交點，結合函數f（x）的圖象可得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x²-4|x|-5=

x2-4x-5  ，x≥0 x2+4x-5 ，x＜0

，畫出y=f（x）的圖象，如圖：
（Ⅱ）由f（x）≥7可得 x²-4|x|-5≥7，
即 ①

x≥0 x2-4x-5≥7

，或②

x＜0 x2+4x-5≥7

．
解①得x≥6，解②可得 x≤-6，
故A={x|f（x）≥7}=（-∞，-6]∪[6，+∞）．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有兩解，即函數f（x）的圖象和直線y=k+1有兩個不同的交點，
由于當x=±2時，函數f（x）取得最小值為-9，
結合函數f（x）的圖象可得k+1=-9，或 k+1＞-5，
解得k=-10，或k＞-6，
即k的范圍為{-10}∪（-6，+∞）．

點評：本題主要考查作函數的圖象，函數的零點與方程的根的關系，絕對值不等式的解法，體現了數形結合、轉化的數學思想，屬于中檔題．