Question

設函數f（x）=mx²-mx-6+m．
（1）若對于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意將不等式整理，得m（x²-x+1）＜6，結合x²-x+1在[1，3]上的取值為正數，將原不等式等價變形為m＜

6

x2-x+1

，求出

6

x2-x+1

的最小值為

6

7

，即可算出滿足條件的m的取值范圍；
（2）由題意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6為是關于m的一次函數．因此滿足對m∈[-2，2]，使f（x）＜0恒成立的x滿足不等式g（-2）＜0且g（-2）＜0，由此解關于x的不等式組，即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6．
∵當x∈[1，3]時，x²-x+1∈[1，7]，∴不等式f（x）＜0等價于m＜

6

x2-x+1

．
∵當x=3時，

6

x2-x+1

的最小值為

6

7

，
∴若要不等式m＜

6

x2-x+1

恒成立，則必須m＜

6

7

，
因此，實數m的取值范圍為（-∞，

6

7

）．
（2）由題意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6，則g（m）是關于m的一次函數．
因此若對于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
則

g(-2)=-2(x 2-x+1)-6＜0 g(2)=2(x 2-x+1)-6＜0

，解之得-1＜x＜2，
即實數x的取值范圍為（-1，2）．

點評：本題給出兩個不等式恒成立的問題，求參數的取值范圍．著重考查了一次函數、二次函數的圖象與性質和不等式的性質等知識，屬于中檔題．