Question

已知曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2在第一象限內交點為P．
（1）求過點P且與曲線C₂相切的直線方程；
（2）求兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積S．

Answer 1

分析：（1）先通過解方程組求交點P的坐標，再根據導數的幾何意義求出函數在x=2處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先確定積分區間，再確定被積函數，從而可求由兩條曲線曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2所圍圖形的面積．

解答：解：（1）曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2在第一象限內交點為P（2，2）
C₂：y=

1

2

x2的導數y'=x
y'|_x=2=2
而切點的坐標為（2，2）
∴曲線C₂：y=

1

2

x2在x=2的處的切線方程為y-2=2（x-2），即2x-y-2=0．

（2）由曲線C₁：y²=2x與C₂：y=

1

2

x2可得兩曲線的交點坐標為（0，0），（2，2）
∴兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積：
S=

∫

2 0

（

2x

-

1

2

x2）dx=（

2

×

2

3

x 

3

2

-

1

6

x3）

|

2 0

=

4

3

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，定積分在求面積中的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．