Question

設函數f（x）=x³，若0≤θ≤

π

2

時，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍為（　　）

• A．（-∞，1）
• B．(-∞ ， 

  1

  2

  )
• C．（-∞，0）
• D．（0，1）

Answer 1

分析：由于f（x）=x³，0≤θ≤

π

2

利用導數可判斷f（x）為奇函數，增函數，可得f（mcosθ）＞f（m-1），從而得出mcosθ＞m-1，根據cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答：解：由函數f（x）=x³，可知f（x）為奇函數，f′（x）=3x²≥0恒成立
∴f（x）=x³是增函數；且f（-x）=-f（x）即f（x）是奇函數
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，則g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

1

2

π
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴

m＞m-1 0＞m-1

∴m＜1．
故選A

點評：本題考查了函數恒成立的問題，解題的關鍵在于對函數f（x）=x³單調性、奇偶性的判斷，考查轉化思想與構造函數的方法，屬于中檔試題．