Question

若直線x+y+m=0（m∈R）不可能是曲線f（x）=ax²+lnx的切線，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．a≤0
• B．a≥-

  1

  8

• C．a＜-

  1

  8

• D．a≥0

Answer 1

分析：先將條件“對任意實數m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”轉化成f'（x）=-1無解，然后分離a后構造函數y=-

1

2x2

-

1

2x

，再平方和換元后由二次函數的性質求出此函數的值域，最后求出值域補集為所求的a的范圍．

解答：解：由題意得，f′（x）=2ax+

1

x

（x＞0），且直線x+y+m=0（m∈R）的斜率為-1，
∵對任意實數m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線，
∴曲線y=f（x）的切線的斜率不可能為-1，
即2ax+

1

x

=-1無正實數根，分離a得a=-

1

2x2

-

1

2x

①，也就是①無正實數根，
令y=-

1

2x2

-

1

2x

=-

1

2

(

1

x

+

1

2

)2+

1

8

，
由x＞0得，設t=

1

x

＞0，則y=-

1

2

(t+

1

2

)2+

1

8

＜0，
∴a≥0，
故選D．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，解題的關鍵是對條件“對任意實數m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線”的正確轉化，還考查利用平方和換元后由二次函數的性質求出此函數的值域，以及轉化的數學思想和分離常數法．