Question

直線y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支交于A，B兩點，直線l經過點（-2，0）及AB中點，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：直線與雙曲線方程聯立消去y，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而根據判別大于0及x₁和x₂的范圍求得k的范圍，表示出AB中點的坐標，進而表示出直線l的方程，令x=0求得b關于k的表達式，根據k的范圍求得b的范圍．

解答：解：由

y=kx+1 x2-y2=1

得（1-k²）x²-2kx-2=0，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

△＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

?

4k2+8(1-k2)＞0 2k 1-k2 ＜0 -2 1-k2 ＞0

?1＜k＜

2

，
AB中點為(

k

1-k2

，

1

1-k2

)，
∴l方程為y=

x+2

-2k2+k+2

，令x=0，
得b=

2

-2k2+k+2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵1＜k＜

2

，
∴

2

-2＜-2(k-

1

4

)2+

17

8

＜1，
所以，b的范圍是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線綜合問題．用k表示b的過程即是建立目標函數的過程，本題要注意k的取值范圍．