Question

若電燈B可在過桌面上一點O且垂直于桌面的垂線上移動，桌面上有與點O距離為a的另一點A，問電燈與點0的距離

 

，可使點A處有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度與sinφ成正比，與r²成反比）

Answer 1

分析：根據題意列出照度函數關系式，建立三角函數模型，然后用均值不等式求最值即可．

解答：解：依題意可設照度y=k•

sinφ

r2

，則有cosφ=

a

r

，y=k

sinφcos2φ

a2

，
又sinφcos²φ=

sin2φ•cos4φ

=

4sin2φ• 1 2 cos2φ• 1 2 cos2φ

≤

4( sin2φ+ 1 2 cos2φ+ 1 2 cos2φ  3 )3

=

4( 1 3 )3

當且僅當sin²φ=

1

2

cos2φ即，tanφ=

2

2

時，y有最大值，此時BO=atanφ=

2

2

a，
故正確答案為

2

2

a．

點評：解答此題要注意審題，理解照度的含義，建立三角函數模型，考查均值不等式的應用．