Question

【題目】已知f（x）=loga （a＞0，且a≠1）．
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）求使f（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可得 ＞0，即（1+x）（1﹣x）＞0，

即 （x+1）（x﹣1）＜0，求得﹣1＜x＜1，

所以函數定義域為（﹣1，1），關于原點對稱．

再根據f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），可得f（x）為奇函數

（2）解：不等式f（x）＞0，即 ＞0，

由（1）得函數定義域為函數定義域為（﹣1，1），

當a＞1時，即 ＞loga1，∴ ，

即 ＜0，∴2x（x﹣1）＜0，求得 0＜x＜1．

當0＜a＜1時，f（x）＞0，即 ＞loga1，∴0＜ ＜1，

即 ＜0，且 ＞0，∴﹣1＜x＜0．

綜上，當a＞1時，不等式的解集為（0，1），當0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣1，0）．

【解析】（1）由題意可得 ＞0，求得函數的定義域為（﹣1，1），關于原點對稱．再根據f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數．（2）不等式f（x）＞0，即 ＞0，分類討論a的范圍，利用函數的單調性，求得x的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．