Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，則該函數的對稱中心為______，計算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=______．

Answer 1

∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，則 f′（x）=x²-x+

1

6

，f″（x）=2x-1，令f″（x）=2x-1=0，求得x=

1

2

，
故函數y=f（x）的“拐點”為（

1

2

，1）．
由于函數的對稱中心為（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=2×1006=2012，
故答案為 （

1

2

，1），2012．