Question

在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中點，F是PC的中點．
（1）求證：BE⊥平面PAD；
（2）求證：EF∥平面PAB；
（3）求直線EF與平面PBE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知利用余弦定理可求BE，利用勾股定理可知BE⊥AE，由平面PAD⊥平面ABCD可證BE⊥平面PAD
（II）證明：由F是PC的中點考慮取PB的中點H，容易證四邊形AHFE是平行四邊形即EF∥AH，根據線面平行的判定定理可證
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC，可得BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC，可得FH⊥平面PBE，則∠FEH是直線EF與平面PBE所成的角，，在Rt△PBE中可求

解答：證明：（I）E是AD中點，連接PE∴AB=2，AE=1
∴BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos∠BAD
=4+1-2×2×1×cos60°=3
∴AE²+BE²=1+3=4=AB²∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ZBCD，交線AD
∴BE⊥平面PAD
（II）證明：取PB的中點H，連接FH，AH
AE=

1

2

BC  ，AE∥BC，又HF是△PBC的中位線
HF∥

1

2

BC，HF=

1

2

BC
∴AE∥HF，AE=HF
∴四邊形AHFE是平行四邊形
∴EF∥AH
又EF?平面PAB，AH?平面PAB
∴AH∥平面PAB
（III）由（I）知BC⊥BE，PE⊥BC
又PE'BE是平面PBE內兩相交直線
∴BC⊥平面PBE，又由（II）知HF∥BC
∴FH⊥平面PBE
∴∠FEH是直線EF與平面PBE所成的角
易知BE=PE=

3

，在Rt△PBE中EH=

6

2

∴tan∠FEH=

6

3

∴cos∠FEH=

15

5

故直線EF與平面PBE所成角的余弦值為

15

5

點評：本題主要考查了直線與平面平行及直線與平面垂直的判定定理的應用，體現了線面關系與面面關系的相互轉化．